单射但不满射的例子有哪些 结合实例理解抽象定义
来源：互联网 2025-11-30 12:31:48
如果一个函数将不同输入映射到不同的输出，但其值域没有覆盖整个目标集合，则该函数是单射但不满射。以下是帮助理解这一概念的具体实例：
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一、从自然数集到整数集的函数
考虑定义在自然数集 = {1, 2, 3, ...} 上的函数 f(n) = n，其目标集合为整数集 = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}。此函数保持每个自然数不变，但由于负整数和零不在 f 的输出中，因此不覆盖整个 。
1、对任意两个不同的自然数 m 和 n，若 m ≠ n，则 f(m) = m ≠ n = f(n)，满足单射条件。
2、检查目标集合 中是否存在某些元素未被映射到，例如 -1、0 等都不在 f() 中。
3、由此可知 f 是单射，因为没有两个自然数映射到同一个整数。
4、同时 f 不是满射，因为存在 中的元素（如 -1）在 f 的值域中找不到原像。
二、平方根函数限制在正实数上的映射
定义函数 g: → ，其中 g(x) = √x， 表示所有正实数。这个函数将每个正实数映射为其正平方根，结果仍为正实数，但目标集合是全体实数 ，包含负数和零。
1、对于任意两个不同的正实数 a 和 b，若 a ≠ b，则 √a ≠ √b，因此 g 是单射。
2、观察 g 的输出范围：由于 √x > 0 对所有 x ∈ 成立，因此所有负实数以及 0 都不在值域中。
3、尽管输入互异导致输出互异，但目标集合中有大量元素未被达到。
4、故 g 是单射，但不是满射，因为 值域 且不等于 。
三、指数函数从实数到正实数的扩展
设 h: → 定义为 h(x) = e。虽然此函数的自然值域是正实数 ，但若将其目标集合设定为全体实数 ，那么它就无法覆盖负数和零。
1、指数函数具有严格单调递增性质，即若 x
2、验证单射性：假设 e1 = e2，则取自然对数得 x = x，证明 h 是单射。
3、检查满射性：是否存在某个 y ∈ 使得 h(x) = y？当 y ≤ 0 时无解，因为 e > 0 恒成立。
4、因此 h 的像集仅为 ，远小于目标集合 ，说明 h 不是满射。
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